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POSTULADOS DE PEANO

Postulados de Peano [editar]Los Postulados de Peano describen la estructura Números Naturales sin necesitad de otra teoría alguna (por ejemplo Teoría de Conjuntos) y ajena de las definiciones aritméticas de suma o equivalencia, de la siguiente forma:

0 es un símbolo que cumple la propiedad de ser un Número Natural. (Nótese que 0 no tiene que significar nada en lo absoluto, bien puede ser una manzana, el conjunto vacío, el uno en los reales o cualquier otra cosa)
Si α es un Número Natural, entonces el símbolo σ(α) representa a un Número Natural distinto de α, cuyo significado será: aquél Número Natural que sucede al Número Natural α. (Nótese en este postulado que el significado del símbolo, otra vez, es independiente de la notación, este postulado nos permite construir nuevos Números Naturales, encerrándolos entre el los símbolos σ( y ))
el símbolo 0 no tiene la forma σ(α) para α un Número Natural, por lo tanto, no existe un Número Natural α tal que el símbolo 0 represente al mismo objeto que σ(α) (A este postulado se le conoce con el nombre de Principio del Buen Orden, pues garantiza un elemento inicial)
Si α y β son Número Naturales distintos, entonces los Números Naturales σ(α) y σ(β) también son distintos. (En Teoría de Conjuntos este postulado se leería como: σ es una función inyectiva)
Si S es una colección o grupo tal que:
0 forma parte de S y,
para cada α elemento de S, α es un Número Natural y además, el Número Natural σ(α) forma parte de S,
entonces S representa a la colección o grupo de todos los Números Naturales.
A este último postulado se le conoce también con el nombre de inducción matemática. Se viene utilizando de modo más o menos informal desde la antigüedad (Euclides, Al-Karaji) y fue definida con más precisión por Francesco Maurolico, Jakob Bernoulli, Pascal y Fermat. Peano incorporó la inducción como un axioma de su sistema, como único medio para poder demostrar propiedades, incluso muy básicas, de los números naturales. Sin embargo, el principio de inducción matemática es más complejo que el resto de los axiomas. En términos de lógica, es el único clasificable como lógica de segundo orden, en tanto que los demás axiomas son de lógica de primer orden. Se han propuesto sistemas axiomáticos más débiles, que prescinden del principio de inducción (aritmética de Robinson).

Los Números

Un número es un ente (algo intangible, por decirlo asi) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas.Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros, Fraccionarios, Irracionales y reales.
Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:

N=Números Naturales
Z=Números Enteros
Q=Números Racionales
I=Irracionales(en amarillo)
R=Números Reales


NUMEROS NATURALES:

Los numeros naturales son aquellos que normarmente utilizamos para contar. Son aquellos numeros positivos y sin parte decimal.

N= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}



NUMEROS ENTEROS:

Son todos los numeros naturales y sus opuestos, es decir, los numeros enteros positivos y negativos.

Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... }



NUMEROS RACIONALES:

Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.



NUMEROS IRRACIONALES:

Son los numeros que poseen infinitas cifras decimales.

p = 3,141592354....
e = 2,7182818....