sábado, 9 de mayo de 2009

POSTULADOS DE PEANO

Postulados de Peano [editar]Los Postulados de Peano describen la estructura Números Naturales sin necesitad de otra teoría alguna (por ejemplo Teoría de Conjuntos) y ajena de las definiciones aritméticas de suma o equivalencia, de la siguiente forma:

0 es un símbolo que cumple la propiedad de ser un Número Natural. (Nótese que 0 no tiene que significar nada en lo absoluto, bien puede ser una manzana, el conjunto vacío, el uno en los reales o cualquier otra cosa)
Si α es un Número Natural, entonces el símbolo σ(α) representa a un Número Natural distinto de α, cuyo significado será: aquél Número Natural que sucede al Número Natural α. (Nótese en este postulado que el significado del símbolo, otra vez, es independiente de la notación, este postulado nos permite construir nuevos Números Naturales, encerrándolos entre el los símbolos σ( y ))
el símbolo 0 no tiene la forma σ(α) para α un Número Natural, por lo tanto, no existe un Número Natural α tal que el símbolo 0 represente al mismo objeto que σ(α) (A este postulado se le conoce con el nombre de Principio del Buen Orden, pues garantiza un elemento inicial)
Si α y β son Número Naturales distintos, entonces los Números Naturales σ(α) y σ(β) también son distintos. (En Teoría de Conjuntos este postulado se leería como: σ es una función inyectiva)
Si S es una colección o grupo tal que:
0 forma parte de S y,
para cada α elemento de S, α es un Número Natural y además, el Número Natural σ(α) forma parte de S,
entonces S representa a la colección o grupo de todos los Números Naturales.
A este último postulado se le conoce también con el nombre de inducción matemática. Se viene utilizando de modo más o menos informal desde la antigüedad (Euclides, Al-Karaji) y fue definida con más precisión por Francesco Maurolico, Jakob Bernoulli, Pascal y Fermat. Peano incorporó la inducción como un axioma de su sistema, como único medio para poder demostrar propiedades, incluso muy básicas, de los números naturales. Sin embargo, el principio de inducción matemática es más complejo que el resto de los axiomas. En términos de lógica, es el único clasificable como lógica de segundo orden, en tanto que los demás axiomas son de lógica de primer orden. Se han propuesto sistemas axiomáticos más débiles, que prescinden del principio de inducción (aritmética de Robinson).

1 comentario:

  1. He llegado a tu pagina desde un link wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano y la pregunta que te quiero plantear es cómo ha de leerse los quintos aixomas (digo quintos porque hay dos el normal i el prima).
    Por otro lado, para que no se diga que solo doy faena voy a intentar ilustrar con un ejemplo de de demostración por induccion (si no recuerdo mal la inducción se basa en Peano) de una propiedad de los numeros natuales:
    La suma de los n primeros numeros naturales es igual a n(n+1)/2.
    Para demostrarlo por inducción bastará que se cumpla para el número 1 y que dado un numeró y suponiedo que se cunpla entoces se cumple para el siguiente.
    Para 1 se cumple porque 1(1+1)/2 es igual 1 que és la suma de los n primeros números siendo n=1 (esta demostración es trivial)
    Suponemos que se cumple para n y por tanto los n primeros numeros suman n(n+1)/2, ahora tenemos que demostrar que se cumple para n' siendo n' igual n+1
    es decir la suma de los n' primeros numeros es n'(n'+1)/2; substituimos n' por n+1 i tenemos que
    (n+1)(n+1+1)/2 que es igual a (n+1)(n+2)/2...Nos quedamos con este resultado!
    po otro lado si al n(n+1)/2 le sumamos n+1 (recordemos que estamos usandio n i n' i que n'=n+1)
    obtenemos n(n+1)/2+(n+1) es lo mismo n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 que por comun denominar es (n(n+1)+2(n+1))/2 que multiplicando es (n2+n+2n+2)/2=(n2+3n+2)/2...si recordamos el resultado con el que nos habíamos quedado vemos que es el mismo nos ha dado ahora (solo hay que multiplicar los dos factores.

    Con lo que habría quedado demostrada la propiedad.

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